§1 Розв’язування трикутників

§1 Розв’язування трикутників

У цьому параграфі ви дізнаєтеся, що являють собою синус, косинус і тангенс кута α, де 0° m α m 180°. Ви навчитеся за двома сторонами трикутника і кутом між ними знаходити третю сторону, а також за стороною і двома прилег- лими до неї кутами знаходити дві інші сторони трикутника. У 8 класі ви навчилися розв’язувати прямокутні трикутники. Вивчивши матеріал цього параграфа, ви зможете розв’язувати будь-які трикутники. Ви дізнаєтеся про нові формули, за допомогою яких можна знаходити площу трикутника.

1. Синус, косинус і тангенс кута від 0° до 180°

Поняття синуса, косинуса й тангенса гострого кута вам відомі з курсу геометрії 8 класу. Розширимо ці поняття для довільного кута a, де 0 180 ° m m α °. У верхній півплощині координатної площини розглянемо пів- коло із центром у початку координат, радіус якого дорівнює 1 (рис. 1.1). Таке півколо називають одиничним. Будемо говорити, що куту a (0 180 ° m m α °) відповідає точка M одиничного півкола, якщо ∠MOA = a, де точки O і A мають відпо- відно координати (0; 0) і (1; 0) (рис. 1.1). Наприклад, на рисунку 1.1 куту, який дорівнює 90°, відповідає точка C; куту, який дорівнює 180°, — точка B; куту, який дорівнює 0°, — точка A.

Нехай a — гострий кут. Йому відповідає деяка точка M (x; y) дуги AC одиничного півкола (рис. 1.2). У прямокутному трикут- нику OMN маємо: cos , α = ON OM sin . α = MN OM Оскільки OM = 1, ON = x, MN = y, то cos a = x, sin a = y. Отже, косинус і синус гострого кута a — це відповідно абсциса й ордината точки M одиничного півкола, яка відповідає куту a. Отриманий результат підказує, як означити синус і косинус довільного кута a, де 0 180 ° m m α °.

Означення.  Косинусом і синусом кута а (0°m mα 180°) називають відповідно абсцису й ординату точки M одиничного півкола, яка відповідає куту a (рис. 1.3). 

Користуючись цим означенням, можна, наприклад, установити, що sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180° = –1.

Якщо M (x; y) — довільна точка одиничного півкола, то −1m mx 1 і 0m my 1. Отже, для будь-якого кута α, де 0° m mα 180°, маємо:

0msin α m1,

−1mcosα m1.

 

Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що для будь-якого гострого кута α виконуються рівності:

sin (90° – α) = cos α,

cos (90° – α) = sin α

Ці формули залишаються справедливими також для α = 0° і для α = 90° (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай кутам α і 180° – α, де α ≠ 0°, α ≠ 90° і α ≠ 180°, відповідають точки M (x₁; y₁) і N (x₂; y₂) одиничного півкола (рис. 1.4).

Прямокутні трикутники OMM₁ і ONN₁ рівні за гіпотенузою та гострим кутом (OM = ON = 1, ∠MOM₁ = ∠NON₁ = α). Звідси y₂ = y₁ і x₂ = –x₁. Отже,

sin (180° – α) = sin α, cos (180° – α) = –cos α

Переконайтеся самостійно, що ці рівності залишаються правильними для α = 0°, α = 90°, α = 180°.

Якщо α — гострий кут, то, як ви знаєте з курсу геометрії 8 класу, є справедливою тотожність, яку називають основною тригонометричною тотожністю:

sin² α + cos² α = 1

Ця рівність залишається правильною для α = 0°, α = 90°, α = 180° (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай α — тупий кут. Тоді кут 180° – α є гострим. Маємо:

sin² α + cos² α = (sin (180° – α))² + (–cos (180° – α))² = = sin² (180° – α) + cos²  (180° – α) = 1.

Отже,  рівність  sin² α + cos² α = 1  виконується  для  всіх 0° m mα 180°.

Означення. Тангенсом кута a, де 0° m mα 180° і a ≠ 90°, називають відношення , тобто

Оскільки cos 90° = 0, то tg α не визначений для α = 90°.

Очевидно, що кожному куту α (0° m mα 180°) відповідає єдина точка одиничного півкола. Отже, кожному куту α відповідає єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для α ≠ 90°). Тому залежність значення синуса (косинуса, тангенса) від величини кута є функціональною.

Функції f (α) = sin α, g (α) = cos α, h (α) = tg α, які відповідають цим функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями кута α.

Питання до параграфу 1

1. Яке півколо називають одиничним?

2.      Поясніть, у якому разі говорять, що куту α відповідає точка M одиничного півкола.

3.      Що називають синусом кута α, де 0° m α m 180°?

4.      Що називають косинусом кута α, де 0° m α m 180°?

5.      Чому дорівнює sin 0°, cos 0°, sin 90°, cos 90°, sin 180°, cos 180°?

6.      У яких межах знаходяться значення sin α, якщо 0° m α m 180°?

7.      У яких межах знаходяться значення cos α, якщо 0° m α m 180°?

8.      Яким кутом є кут α, якщо cos α < 0?

9.    Чому дорівнює sin (180° – α)? cos (180° – α)?

10.    Як пов’язані між собою синус і косинус одного й того самого кута?

11.    Що називають тангенсом кута α, де 0° m α m 180° і α ≠ 90°?

12.    Чому tg α не визначений для α = 90°?

13.    Яку загальну назву мають функції f (α) = sin α, g (α) = cos α і h (α) = = tg α?